Het land van de week is Pruisen

Pâté

voor de liefhebbers

Deze week is het Geeks

DE website van deze week is Mailinator

De gulden snede, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat a : b = (a+b) : a. De bedoelde verhouding a/b wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter φ (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt: Hoewel de wiskundige eigenschappen van de gulden snede al in de oudheid werden bestudeerd, dateert de term "gulden snede" pas uit de jaren 30 van de 19e eeuw. Inhoud [verbergen] 1 Wiskunde 1.1 Euclides 1.2 Constructie met passer en liniaal 1.3 Andere constructie met passer en liniaal 1.4 Gulden rechthoek 1.5 Wiskundige benaderingen 2 Geschiedenis 2.1 Wiskunde 2.2 Esthetica 2.2.1 De Modulor 3 De gulden snede in de natuur 4 Zie ook 5 Literatuur [bewerken] Wiskunde [bewerken] Euclides Euclides heeft aangegeven hoe een lijnstuk verdeeld dient te worden om de gulden snede te verkrijgen. Die gulden snede bij het punt S in het lijnstuk AB is zo dat: Voor de lengten a en b van de delen betekent dat: De verhouding heet het gulden getal en wordt aangeduid met . Daarvoor geldt dus: , wat leidt tot de vierkantsvergelijking , , met de positieve oplossing Opmerking: behalve heeft de vergelijking ook de negatieve oplossing . [bewerken] Constructie met passer en liniaal De eenvoudigste constructie van de gulden snede gaat als volgt (zie afbeelding): Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AB van lengte 1 en BC van lengte 2. De hypotenusa AC heeft dan de lengte . Cirkel vanuit A het punt B om naar het punt D op de hypotenusa. Cirkel vanuit C het punt D om naar het punt E op BC. Nu is , zodat . Daaruit volgt: . dus: , met andere woorden: de zijde BC is verdeeld volgens de gulden snede. [bewerken] Andere constructie met passer en liniaal Construeer een vierkant ABCD met zijden ter lengte 2. Bepaal het midden E van AB. Cirkel vanuit E het punt C om naar het punt G op het verlengde van AB. Dan is B de gulden snede in het lijnstuk AG. Immers: . [bewerken] Gulden rechthoek Een gulden rechthoek, onderverdeeld in een vierkant en een kleinere gulden rechthoekEen gulden rechthoek is een rechthoek met zijden in de verhouding van het gulden getal: lengte : breedte = φ. Als de breedte a is en de lengte a + b, geldt er: Als we in de gulden rechthoek een vierkant tekenen, met a als zijde, is de kleinere rechthoek die overblijft opnieuw een gulden rechthoek. Door dit proces met de steeds kleiner wordende rechthoeken te herhalen ontstaat een gulden spiraal. [bewerken] Wiskundige benaderingen De waarde van φ wordt benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Om dit in te zien schrijven we φ als kettingbreuk door in het rechterlid van de vergelijking φ = 1 + 1/φ, telkens φ door 1 + 1/φ te vervangen: Dit komt, net als de rij van Fibonacci, meetkundig neer op, uitgaande van een willekeurige rechthoek, het telkens een vierkant aan de lange zijde van de rechthoek tekenen, waardoor φ steeds beter benaderd wordt door de verhoudingen van de zijden van de resulterende totale rechthoek. Het gulden getal kan ook als kettingwortel worden uitgedrukt: [bewerken] Geschiedenis [bewerken] Wiskunde De vier lengtes in dit symbool (aangegeven met verschillende kleuren) verhoudingen tot elkaar zijn de gulden snedeVerhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De eerste die er dan uitdrukkelijk over schreef was Euclides. In zijn Elementen geeft hij de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als "extreme en gemiddelde verhouding". Zijn verhandeling over het onderwerp werd in 1509 aan de vergetelheid ontrukt door de Italiaan Luca Pacioli. In De Divina Proportione noemt deze de gulden snede de "goddelijke verhouding". Johannes Kepler beschreef de gulden snede als een "kostbaar juweel": "De meetkunde heeft twee grote schatten: de ene is de stelling van Pythagoras, en de andere de verdeling van een lijn in extreme en gemiddelde ratio; de eerste kunnen we vergelijken met een hoeveelheid goud, de tweede mogen we een kostbaar juweel noemen." Martin Ohm wordt verondersteld de eerste te zijn die de term gulden snede gebruikte om deze verhouding te beschrijven. Hij deed dat omstreeks 1830. Roger Penrose ontdekte een patroon (de Penrose-betegeling) dat de gulden snede gebruikt in het veld van niet-periodieke vlakvullingen. Dit leidde tot nieuwe inzichten in quasikristallen. [bewerken] Esthetica Het duurde tot de 19e eeuw voordat de gulden snede buiten het domein van de wiskunde een bijzondere betekenis werd toegekend[1] De gulden snede zou sindsdien volgens sommigen een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur, schilderkunst en in de levende natuur. De Duitser Adolf Zeising publiceerde in 1854 bijvoorbeeld Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. In dat boek verdedigt hij de opvatting dat het ideale menselijke lichaam volledig volgens de guldensnedeverhouding is opgebouwd. Ook de beelden die Phidias maakte in het Parthenon worden door sommigen in verband gebracht met de gulden snede. De eerste letter van zijn naam, de Griekse letter φ, werd daarom door Mark Barr gebruikt om de gulden snede aan te duiden. De esthetische status van de gulden snede blijft omstreden. Eerder dan ca. 1830 komt de gulden snede niet voor in geschriften over schilderkunst of architectuur en voor de bewering dat de verhouding vaak zou voorkomen of dat de mens een onbewuste voorkeur voor deze verhouding zou hebben, bestaat geen statistisch bewijs. In de loop van de twintigste eeuw verwierf de gulden snede niettemin een plaats in diverse vormen van kunstonderwijs. In de (reclame)fotografie bestaat bijvoorbeeld de traditie om belangrijke onderdelen van een foto zodanig in de compositie op te nemen dat er een guldensnede-verdeling ontstaat. Ook Salvador Dali paste de gulden snede bewust toe. Keltische gnostici gebruikten de gulden snede onder meer in het Noorweegse pentagram dat ontdekt is door Harald Boehlke. [bewerken] De Modulor Een architectonisch maatsysteem dat bewust gebruik maakt van de gulden snede is de Modulor. Het systeem werd tussen 1942 en 1955 ontwikkeld door de Zwitsers-Franse architect Le Corbusier en bestaat uit twee reeksen van maten: de rode reeks en de blauwe reeks. Voor de rode reeks nam hij een maat van 183 cm als uitgangspunt -- volgens Le Corbusier de lengte van het menselijk lichaam. Door die maat herhaaldelijk door φ te delen ontstaat de rij 183, 113, 70, 43, 27... Voor de blauwe reeks deed hij hetzelfde met een maat van 226 cm -- de lengte van het menselijk lichaam met uitgestrekte arm. Die maat is tevens een verdubbeling van de 'navelhoogte' (113 cm) die ook al in de rode reeks voorkwam: 226, 140, 86, 54 ... Een bekend voorbeeld van een op de Modulor gebaseerd gebouw is Le Corbusiers Unité d'Habitation ('wooneenheid'): een "verticale stad" waarvan het eerste exemplaar in 1947 in Marseille werd gebouwd. Later volgden versies in Nantes, Berlijn, Briey en Firminy. [bewerken] De gulden snede in de natuur De lengte van een groot blok ten opzichte van een naastgelegen kleiner blok is de gulden snede, hierin is een logaritmische spiraal getekend De Fibonacci spiraal, gebaseerd op de rij van FibonacciDe gulden hoek (ongeveer 137,5°) is de hoek die een cirkel volgens de gulden snede verdeelt. In de natuur zien we die hoek terug in delen van bloemen zoals bloemblaadjes, zaden en kelkbladeren. Dergelijke bloemdelen groeien uit stukjes weefsel die ontstaan op een vaste plaats, bijvoorbeeld bloemblaadjes die ontspringen in het hart van een bloem. Om optimaal zonlicht te kunnen opvangen is het belangrijk dat de blaadjes allemaal een andere kant op groeien en zo een schijf vormen. Als elk blaadje een gulden hoek met zijn voorganger vormt, wordt de schijf het efficiëntst gevuld.[2] (Vergelijk dit bijvoorbeeld met een zeer inefficiënte hoek: 120°. Het vierde blaadje groeit in dat geval op precies dezelfde plek als het eerste blaadje, het zevende ook, enzovoort. Er ontstaan dan drie pakketjes van over elkaar heen groeiende blaadjes, op 0°, 120° en 240°.) Een populaire theorie die iets vergelijkbaars beweert over de schelp van de nautilus, blijkt bij nameting niet te kloppen. De logaritmische spiraal die door deze schelp wordt gevormd heeft een hoek van 107,04°, een hoek die noch met de gulden hoek noch met de gulden driehoek in verband valt te brengen.